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已知α1=(1,3,5,一1)T,α2=(2,7,n,4)T,α3=(5,17,一1,7)T, 当α=3时,证明α1,α2,α3,α4表示任一个4维列向量.
已知α1=(1,3,5,一1)T,α2=(2,7,n,4)T,α3=(5,17,一1,7)T, 当α=3时,证明α1,α2,α3,α4表示任一个4维列向量.
admin
2014-05-19
104
问题
已知α
1
=(1,3,5,一1)
T
,α
2
=(2,7,n,4)
T
,α
3
=(5,17,一1,7)
T
,
当α=3时,证明α
1
,α
2
,α
3
,α
4
表示任一个4维列向量.
选项
答案
由于|α
1
,α
2
,α
3
,α
4
|=[*]所以x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α恒有解,即任一4维列向量必可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出或者由(I)知α=3时,α
1
,α
2
,α
3
必线性无关,那么:若k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
α
4
=0,用α
4
T
左乘上式两端并利用α
4
T
α
1
=α
4
T
α
3
=0,有k
4
α
4
T
α
4
=0,又α
4
≠0,故必有k
4
=0于是k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0.由α
1
,α
2
,α
3
线性无关知必有
1
=0,k
2
=0,k
3
=0,从而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
必线性无关。而5个4维列向量必线性相关,因此任一个4维列向量都可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出.
解析
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考研数学二
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