设f(x)是以T为周期的可微函数,则下列函数中以T为周期的函数是 ( )

admin2017-10-12  32

问题 设f(x)是以T为周期的可微函数,则下列函数中以T为周期的函数是    (    )

选项 A、∫0xf(t)dt
B、∫0xf(t2)dt
C、∫0xfˊ(t2)dt
D、∫0xf(t)fˊ(t)dt

答案D

解析 当g(x+T)=g(x)时,因为
0x+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt+∫xx+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt+∫0Tg(t)dt.
若∫0x+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt,则∫0Tg(t)dt=0.反之,若∫0Tg(t)dt=0,则∫0x+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt.
因为f(x)是以T为周期的函数,所以4个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数,但是仅∫0Tf(t)fˊ(t)dt=[f2(T)-f2(0)]=0,因此,只有∫0xf(t)fˊ(t)dt是以T为周期的函数.
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