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设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z==16(x2+y2)z,求f(u).
设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z==16(x2+y2)z,求f(u).
admin
2018-11-21
37
问题
设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z=
=16(x
2
+y
2
)z,求f(u).
选项
答案
[*] 进而可得 [1*]=4x
2
u
2
f"(u)+(2u+4x
2
u)f’(u), [*]=4y
2
u
2
f"(u)一(2u一4y
2
u)f’(u). 所以 [*]4(x
2
+y
2
)u
2
f"(u)+4(x
2
+y
2
)uf’(u). 由题设条件,得 u
2
f"(u)+uf’(u)一4f(u)=0. 这是欧拉方程,令u=e
t
,方程化为 [*]一4z=0 (z=f(u)), 解此二阶线性常系数齐次方程得 z=C
1
e
2t
+C
2
e
-2t
,即z=f(u)=C
1
u
2
+[*]常数.
解析
z=
的复合函数,由复合函数求导法可导出
与f’(u).f"(u)的关系式,从而由
=16(x
2
+y
2
)z导出f(u)的微分方程式,然后解出f(u).
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考研数学一
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