设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)．若∫0f(x)g(t)dt=x2ex，求f(x)．

admin2017-04-24 64

问题设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)．若∫₀^f(x)g(t)dt=x²e^x，求f(x)．

选项

答案等式两边对x求导得 g[f(x)]f’(x)=2xe^x+x²e^x 而 g[f(x)]=x，故 xf’(x)=2xe^x+x²e^x 当x≠0时，f’(x)=2e^x+ xe^x 积分得 f(x)=(x+1)^x+C f(0)=[*][(x+1)e^x+C]=1+C=0，则 C=一1 因此 f(x)=(x+1)e^x一1．

解析

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