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设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且其反函数为g(x).若∫0f(x)g(t)dt=x2ex,求f(x).
设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且其反函数为g(x).若∫0f(x)g(t)dt=x2ex,求f(x).
admin
2017-04-24
85
问题
设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且其反函数为g(x).若∫
0
f(x)
g(t)dt=x
2
e
x
,求f(x).
选项
答案
等式两边对x求导得 g[f(x)]f’(x)=2xe
x
+x
2
e
x
而 g[f(x)]=x,故 xf’(x)=2xe
x
+x
2
e
x
当x≠0时,f’(x)=2e
x
+ xe
x
积分得 f(x)=(x+1)
x
+C f(0)=[*][(x+1)e
x
+C]=1+C=0,则 C=一1 因此 f(x)=(x+1)e
x
一1.
解析
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考研数学二
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