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设f(x)在[0,1]上二阶连续可导且f(0)=f(1),又|f"(x)|≤M,证明:|f’(x)|≤M/2.
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导且f(0)=f(1),又|f"(x)|≤M,证明:|f’(x)|≤M/2.
admin
2021-10-18
64
问题
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导且f(0)=f(1),又|f"(x)|≤M,证明:|f’(x)|≤M/2.
选项
答案
由勒公式得f(0)=f(x)+f’(x)(0-x)+f"(ξ)/2!(0-x)
2
,ξ∈(0,x),f(1)=f(x)+f’(x)(0-x)+f"(ξ)/2!(1-x)
2
,ξ∈(x,1),两式相减得 f’(x)=1/2[f"(ξ)x
2
-f"(η)(1-x)
2
],取绝对值得 |f’(x)|≤M/2[x
2
+(1-x)
2
],因为x
2
≤x,(1-x)
2
≤1-x,所以x
2
+(1-x)
2
≤1,故|f’(x)|≤M/2,
解析
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考研数学二
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