2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，证明：｜f’(x)｜≤M/2．

设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，证明：｜f’(x)｜≤M/2．

admin2021-10-18  49
问题 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，证明：｜f’(x)｜≤M/2．
选项
答案由勒公式得f(0)=f(x)+f’(x)(0-x)+f"(ξ)/2!(0-x)2，ξ∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(0-x)+f"(ξ)/2!(1-x)2，ξ∈(x，1)，两式相减得 f’(x)=1/2[f"(ξ)x2-f"(η)(1-x)2]，取绝对值得 ｜f’(x)｜≤M/2[x2+(1-x)2]，因为x2≤x，(1-x)2≤1-x，所以x2+(1-x)2≤1，故｜f’(x)｜≤M/2，
解析
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考研数学二

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