设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A及，其中E为3阶单位矩阵．

admin2016-01-11 39

问题设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(一1，2，一1)^T，α₂=(0，一1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解．
求A及

，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案因Q^TAQ=A，且Q为正交矩阵，故A=QAQ^T． [*]

解析本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题．
由α₁，α₂是线性方程组Ax=0的解，知α₁，α₂是属于0的特征向量．又由A的各行元素之和为3，知(1，1，1)^T是A的属于3的特征向量．于是A的所有的特征值、特征向量均求出，从而本题就成为一个常规题了．

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