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设向量β可由向量组a1，a2，…，am线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)a1，a2，…，am．线性表示，记向量组(Ⅱ)a1，a2，…，am-1，β，则( )．
设向量β可由向量组a1，a2，…，am线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)a1，a2，…，am．线性表示，记向量组(Ⅱ)a1，a2，…，am-1，β，则( )．
admin
2013-09-15
45
问题
设向量β可由向量组a
1
，a
2
，…，a
m
线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)a
1
，a
2
，…，a
m
．线性表示，记向量组(Ⅱ)a
1
，a
2
，…，a
m-1
，β，则( )．
选项
A、a
m
不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示
B、a
m
不能由(Ⅰ)线性表示，但可能由(Ⅱ)线性表示
C、a
m
可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示
D、a
m
可由(Ⅰ)线性表示，但：不可由(Ⅱ)线性表示
答案
B
解析
由题设，β可由向量组a
1
，a
2
…，a
m
线性表示，
则存在一组数后k
1
，k
2
…，k
m
，使β=k
1
a
1
+k
2
2
+…+k
m
a
m
，
但是β不能由a
1
，a
2
…，a
m-1
线性表示，从而k
m
≠0，
因此a
m
=1/k
m
(β-k
1
a
1
-k
2
a
2
…k
m-1
a
m-1
)，
即a
m
可由(Ⅱ)a
1
，a
2
…，a
m-1
，β，线性表示，所以(A)、(D)不正确．
若a
m
能由向量组(Ⅰ)线性表示，则存在另一组数λ
1
，λ
2
…，λ
m-1
，
使得a
m
=λ
1
a
1
+λ
2
a
2
+…+λ
m-1
a
m-1
]，
从而β=k
1
a
1
+…+k
m-1
a
m-1
+k
m
[λ
1
a
1
+λ
2
a
2
+…+λ
m-1
a
m-1
]
=(k
1
+k
m
λ
1
)a
1
+(k
2
+k
m
λ
2
)a
2
+…+(k
m-1
+k
m
λ
m-1
)a
m-1
，
这与前述已知矛盾，所以a
m
不能由向量组(Ⅰ)线性表示，综上，选(B)．
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考研数学二
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