设向量β可由向量组a1，a2，…，am线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)a1，a2，…，am．线性表示，记向量组(Ⅱ)a1，a2，…，am-1，β，则( )．

admin2013-09-15 37

问题设向量β可由向量组a₁，a₂，…，a_m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)a₁，a₂，…，a_m．线性表示，记向量组(Ⅱ)a₁，a₂，…，a_m-1，β，则( )．

选项 A、a_m不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示
B、a_m不能由(Ⅰ)线性表示，但可能由(Ⅱ)线性表示
C、a_m可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示
D、a_m可由(Ⅰ)线性表示，但：不可由(Ⅱ)线性表示

答案B

解析由题设，β可由向量组a₁，a₂…，a_m线性表示，
  则存在一组数后k₁，k₂…，k_m，使β=k₁a₁+k₂₂+…+k_ma_m，
  但是β不能由a₁，a₂…，a_m-1线性表示，从而k_m≠0，
  因此a_m=1/k_m(β-k₁a₁-k₂a₂…k_m-1a_m-1)，
  即a_m可由(Ⅱ)a₁，a₂…，a_m-1，β，线性表示，所以(A)、(D)不正确．
  若a_m能由向量组(Ⅰ)线性表示，则存在另一组数λ₁，λ₂…，λ_m-1，
  使得a_m=λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_m-1a_m-1]，
  从而β=k₁a₁+…+k_m-1a_m-1+k_m[λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_m-1a_m-1]
=(k₁+k_mλ₁)a₁+(k₂+k_mλ₂)a₂+…+(k_m-1+k_mλ_m-1)a_m-1，
  这与前述已知矛盾，所以a_m不能由向量组(Ⅰ)线性表示，综上，选(B)．

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考研数学二

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