2. 考研
  3. 已知函数f(x)在区间(1－δ,1+δ)内具有二阶导数,f ’(x)严格单调减少,且f(1)=f’(1)=1,则________。

已知函数f(x)在区间(1－δ,1+δ)内具有二阶导数,f ’(x)严格单调减少,且f(1)=f’(1)=1,则________。

admin2022-09-05  52
问题 已知函数f(x)在区间(1－δ,1+δ)内具有二阶导数,f ’(x)严格单调减少,且f(1)=f’(1)=1,则________。
选项 A、在(1－δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)＜x
B、在(1－δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)>x
C、在(1－δ,1)内,f(x)＜x,在(1,1+δ)内,f(x)＞x

D、在(1－δ,1)内,f(x)>x,在(1,1+δ)内,f(x)＜x
答案A
解析 设F(x)=f(x)－x,则 F(1)=f(1)－1=0.
F’(x)=f’(x)－1，
F’(1)=f’(1)－1=0.
F"(x)=f"(x),由f’(x)在(1－δ,1+δ)内严格单调减少知F "(x)<0.从而F’(x)在(1-δ，1+δ)内单调减少,即x∈(1－δ,1)时,F’(x)>F’(1)=0;x∈(1,1+δ)时,F’ (x)＜F (1)=0.
当x∈(1－δ,1)时,由F’(x)＞0知F(x)单增,即F(x)＜F(1)=0,也即f(x)＜x;
当x∈(1,1+δ)时,由F’(x)＞0知F(x)单减,即F(x)＜F(1)=0,也即f(x)＜x.
故应选(A).
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考研数学三

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