2. 考研
  3. 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAχ在正交变换χ＝Qy下的标准形为y12＋y22，且Q的第3列为 ． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAχ在正交变换χ＝Qy下的标准形为y12＋y22，且Q的第3列为 ． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2021-11-09  139
问题 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAχ在正交变换χ＝Qy下的标准形为y12＋y22，且Q的第3列为
．
    (Ⅰ)求矩阵A；
    (Ⅱ)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
选项
答案(Ⅰ)由条件知，A的特征值为1，1，0，且ξ(1，0，1)T为A的属于特征值0的一个特征向量．设A的属于特征值1的特征向量为χ＝(χ1，χ2，χ3)T，则ξ⊥χ，得χ1＋χ3＝0，取A的属于特征值1的两个正交的单位特征向量为[*](1，0，－1)T、(0，1，0)T．得正交矩阵Q＝[*]，则有QTAQ＝diag(1，1，0)，故A＝Qdiag(1，1，0)QT＝[*] (Ⅱ)A＋E的特征值为2，2，1都大于零，且A＋E为实对称矩阵，所以A＋E为正定矩阵．
解析
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考研数学二

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