设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求: (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v).

admin2018-06-15  23

问题 设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求:
(Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u);
(Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v).

选项

答案由于X与Y相互独立且密度函数已知,因此我们可以用两种方法:分布函数法与公式法求出U、V的概率密度. (Ⅰ)分布函数法.由题设知(X,Y)联合概率密度 f(x,y)=fX(x)fY(y) [*] 所以U=XY的分布函数为(如图3.3) [*] FU(u)=P{XY≤u}=[*]f(x,y)dxdy. 当u≤0时,FU(u)=0;当u≥1时,FU(u)=1;当0<u<1时, FU(u)=∫0udu∫01dy+∫u1dx∫0u/xdy=u+∫u1u/xdx=u-ulinu. 综上得 [*] (Ⅱ)公式法.记Z=X-Y=X+(-Y),其中X与(-Y)独立,概率密度分别为 [*] 由卷积公式得Z的概率密度 fZ(z)=∫-∞+∞(z-y)f-Y(y)dy=∫-10fX(z-y)dy [*] V=|X-Y|=|Z|的分布函数为FV(v)=P{|Z|≤v},易得 当v≤0时,FV(v)=0;当v>0时,FV(v)=P{-v≤Z≤v}=∫-vv(z)dz; 由此知,当0<v<1时,FV(v)=∫-v0(x+1)+∫0v(1-z)=2v-v2; 当v≥1时,FV(v)=∫-v-10dz+∫-10(z+1)dz+∫01(1-z)dz+∫1v0dz=1. 综上得FV(v) [*]

解析
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