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已知矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1= 2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．
已知矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1= 2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．
admin
2021-01-19
77
问题
已知矩阵A=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
均为4维列向量，其中α
2
，α
3
，α
4
线性无关，α
1
= 2α
2
一α
3
．如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，求线性方程组Ax=β的通解．
选项
答案
令[*]，则由Ax=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
][*] 得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
将α
1
=2α
2
一α
3
代入上式，整理后得 (2x
1
+x
2
一3)α
2
+(一x
1
+x
3
)α
3
+(x
4
一1)α
4
=0 由α
2
，α
3
，α
4
线性无关，得 [*] 解此方程组，得 [*] 其中k为任意常数． 由α
2
，α
3
，α
4
线性无关和α
1
=2α
2
一α
3
+0α
4
，知矩阵A的秩为3，[*]齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为4一3=1．于是由 α
1
一 2α
2
+α
3
+0α
4
=0 即[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
][*] 知[1，一2，1，0]
T
为齐次线性方程组Ax=0的一个解，所以其通解为 [*] k为任意常数． 再由 β= α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
][*] 知[1，1，1，1]
T
为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解．于是Ax=β的通解为x=[1，1，1，1]
T
+k[1，一2，1，0]
T
，其中k为任意常数．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/P384777K
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考研数学二
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