2. 考研
  3. 已知矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1= 2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

已知矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1= 2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

admin2021-01-19  72
问题 已知矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1= 2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．
选项
答案令[*]，则由Ax=[α1，α2，α3，α4][*] 得 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4 将α1=2α2一α3代入上式，整理后得 (2x1+x2一3)α2+(一x1+x3)α3+(x4一1)α4=0 由α2，α3，α4线性无关，得 [*] 解此方程组，得 [*] 其中k为任意常数． 由α2，α3，α4线性无关和α1=2α2一α3+0α4，知矩阵A的秩为3，[*]齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为4一3=1．于是由 α1一 2α2+α3+0α4=0 即[α1，α2，α3，α4][*] 知[1，一2，1，0]T为齐次线性方程组Ax=0的一个解，所以其通解为 [*] k为任意常数． 再由 β= α1+α2+α3+α4=[α1，α2，α3，α4][*] 知[1，1，1，1]T为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解．于是Ax=β的通解为x=[1，1，1，1]T+k[1，一2，1，0]T，其中k为任意常数．
解析
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考研数学二

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