设f(x)在[0,1]上连续且单调减少，且f(x)＞0，证明：.

admin2021-11-25 17

问题设f(x)在[0,1]上连续且单调减少，且f(x)＞0，证明：

选项

答案[*]等价于∫₀¹f²(x)dx∫₀¹xf(x)dx≥∫₀¹f(x)dx∫₀¹xf²(x)dx 等价于∫₀¹f²(x)dx∫₀¹yf(x)f(y)[f(x)－f(y)]dy≥0 令I=∫₀¹dx∫₀¹yf(x)f(y)[f(x)－f(y)]dy 根据对称性,I=∫₀¹dx∫₀¹xf(x)f(y)[f(y)－f(x)]dy 2I=∫₀¹dx∫₀¹f(x)f(y)(y－x)[f(x)－f(y)]dy 因为f(x)＞0且单调减少，所以(y－x)[f(x)－f(y)]≥0,于是2I≥0，或I≥0 所以 [*]

解析

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