设函数f(x)=,则下列结论正确的是

admin2020-05-09  30

问题 设函数f(x)=,则下列结论正确的是

选项 A、f(x)有间断点.
B、f(x)在(—∞,+∞)上连续,但在(—∞,+∞)内有不可导的点.
C、f(x)在(—∞,+∞)内处处可导,但f’(x)在(—∞,+∞)上不连续.
D、f’(x)在(—∞,+∞)上连续.

答案C

解析 本题主要考查分段函数在分界点处的连续性,可导性及导函数的连续性问题.
    f(x)的定义域是(一∞,+∞),它被分成两个子区间(一∞,0]和(0,+∞).在(一∞,0]内f((x)=x2,因而它在(一∞,0]上连续,在(一∞,0)内导函数连续,且f’(0)=0;在(0,+∞)内
    f(x)=x2cos,因而它在(0,+∞)内连续且导函数连续.
注意=0=f(0),因而f(x)在(一∞,+∞)连续.可见(A)不正确.又因
     
即f(x)在x=0右导数f’+(0)存在且等于零,这表明f’(0)存在且等于零.于是,f’(x)在(一∞,+∞)上处处存在.可见(B)不正确.
    注意,当x>0时,
于是不存在,这表明f’(x)在x=0处间断.可见(C)正确,(D)不正确.故选C.
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