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  3. 设齐次线性方程组(I)为又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为α1=(0，1，1，0)T，α2=(一1，2，2，1)T．试问a，b为何值时，(I)与(Ⅱ)有非零公共解?并求出所有的非零公共解．

设齐次线性方程组(I)为又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为α1=(0，1，1，0)T，α2=(一1，2，2，1)T．试问a，b为何值时，(I)与(Ⅱ)有非零公共解?并求出所有的非零公共解．

admin2022-06-19  111
问题 设齐次线性方程组(I)为又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为α1=(0，1，1，0)T，α2=(一1，2，2，1)T．试问a，b为何值时，(I)与(Ⅱ)有非零公共解?并求出所有的非零公共解．
选项
答案由齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系可得 [*] 以x3，x4为自由变量，则上述基础解系可由以下等价方程组得到 [*] 去掉x3，x4两个自由变量的恒等式方程，可得以α1，α2为基础解系的一个齐次线性方程组为 [*] 将题设条件中的方程组(I)与上述①式中的方程组联立，得 [*] 参数a，b的值只要使得方程组②有非零解，并解之即可，由 [*] 可见，当a+1=0，且b=0，即a=一1，b=0时，r(A)=3＜4，方程组②必有非零解．此非零解既满足方程组(I)，也满足方程组①，从而是(I)与(Ⅱ)的非零公共解．此时由 [*] 可得方程组②的一个基础解系为ξ=(一1，1，1，1)T，因此(I)与(Ⅱ)的所有非零公共解为x=kξ考，其中k是不为零的任意常数．
解析
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考研数学三

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