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设齐次线性方程组(I)为又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为α1=(0,1,1,0)T,α2=(一1,2,2,1)T.试问a,b为何值时,(I)与(Ⅱ)有非零公共解?并求出所有的非零公共解.
设齐次线性方程组(I)为又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为α1=(0,1,1,0)T,α2=(一1,2,2,1)T.试问a,b为何值时,(I)与(Ⅱ)有非零公共解?并求出所有的非零公共解.
admin
2022-06-19
127
问题
设齐次线性方程组(I)为
又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为α
1
=(0,1,1,0)
T
,α
2
=(一1,2,2,1)
T
.试问a,b为何值时,(I)与(Ⅱ)有非零公共解?并求出所有的非零公共解.
选项
答案
由齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系可得 [*] 以x
3
,x
4
为自由变量,则上述基础解系可由以下等价方程组得到 [*] 去掉x
3
,x
4
两个自由变量的恒等式方程,可得以α
1
,α
2
为基础解系的一个齐次线性方程组为 [*] 将题设条件中的方程组(I)与上述①式中的方程组联立,得 [*] 参数a,b的值只要使得方程组②有非零解,并解之即可,由 [*] 可见,当a+1=0,且b=0,即a=一1,b=0时,r(A)=3<4,方程组②必有非零解.此非零解既满足方程组(I),也满足方程组①,从而是(I)与(Ⅱ)的非零公共解.此时由 [*] 可得方程组②的一个基础解系为ξ=(一1,1,1,1)
T
,因此(I)与(Ⅱ)的所有非零公共解为x=kξ考,其中k是不为零的任意常数.
解析
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考研数学三
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