设α1=(6,一1,1)T与α2=(一7,4,2)T是线性方程组的两个解,那么此方程组的通解是___________.

admin2020-03-10  37

问题 设α1=(6,一1,1)T与α2=(一7,4,2)T是线性方程组的两个解,那么此方程组的通解是___________.

选项

答案(6,一1,1)T+k(13,一5,一1)T(k为任意常数)

解析 一方面因为α1,α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,因此一定有r(A)=r(A)<3.另一方面由于在系数矩阵A中存在2阶子式因此一定有r(A)≥2,因此必有r(A)=r(A)=2.则n一r(A)=3—2=1,因此,导出组Ax=0的基础解系由一个解向量所构成,根据解的性质可知α1一α2=(6,一1,1)T一(一7,4,2)T=(13,一5,一1)T,是导出组Ax=0的非零解,即基础解系,那么由非齐次线性方程组解的结构可知(6,一1,1)T+k(1 3,一5,一1)T(k为任意常数)是方程组的通解.
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