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已知A=,其中ai≠aj,i,j=1,2,…,s.试讨论矩阵ATA的正定性.
已知A=,其中ai≠aj,i,j=1,2,…,s.试讨论矩阵ATA的正定性.
admin
2018-06-12
25
问题
已知A=
,其中a
i
≠a
j
,i,j=1,2,…,s.试讨论矩阵A
T
A的正定性.
选项
答案
由(A
T
A)
T
=A
T
(A
T
)
T
=A
T
A,知A
T
A是对称矩阵. (Ⅰ)如果s>n,则齐次方程组Aχ=0有非零解,设为χ
0
,那么χ
0
T
(A
T
A)χ
0
=χ
0
T
A
T
Aχ
0
=0, χ
0
≠0.所以矩阵A
T
A不正定. (Ⅱ)如果s=n,因为a
i
≠a
j
,|A|=П(a
i
-a
j
)≠0,A是可逆矩阵,那么 B=A
T
A=A
T
EA. 即B与E合同.故矩阵B正定. (Ⅲ)如果s<n,则因[*]可逆, 知[*]线性无关, 那么延伸后A的列向量仍线性无关. 从而,对任意χ≠0,恒有Aχ≠0,于是 χ
T
(A
T
A)χ=(Aχ)
T
(Aχ)=‖Aχ‖
2
>0. 即矩阵A
T
A正定.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PTg4777K
0
考研数学一
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