已知A＝，其中ai≠aj，i，j＝1，2，…，s．试讨论矩阵ATA的正定性．

admin2018-06-12 37

问题已知A＝

，其中a_i≠a_j，i，j＝1，2，…，s．试讨论矩阵A^TA的正定性．

选项

答案由(A^TA)^T＝A^T(A^T)^T＝A^TA，知A^TA是对称矩阵． (Ⅰ)如果s＞n，则齐次方程组Aχ＝0有非零解，设为χ₀，那么χ₀^T(A^TA)χ₀＝χ₀^TA^TAχ₀＝0， χ₀≠0．所以矩阵A^TA不正定． (Ⅱ)如果s＝n，因为a_i≠a_j，｜A｜＝П(a_i－a_j)≠0，A是可逆矩阵，那么 B＝A^TA＝A^TEA．即B与E合同．故矩阵B正定． (Ⅲ)如果s＜n，则因[*]可逆，知[*]线性无关，那么延伸后A的列向量仍线性无关．从而，对任意χ≠0，恒有Aχ≠0，于是 χ^T(A^TA)χ＝(Aχ)^T(Aχ)＝‖Aχ‖²＞0．即矩阵A^TA正定．

解析

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考研数学一

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