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  3. 已知A＝，其中ai≠aj，i，j＝1，2，…，s．试讨论矩阵ATA的正定性．

已知A＝，其中ai≠aj，i，j＝1，2，…，s．试讨论矩阵ATA的正定性．

admin2018-06-12  22
问题 已知A＝，其中ai≠aj，i，j＝1，2，…，s．试讨论矩阵ATA的正定性．
选项
答案由(ATA)T＝AT(AT)T＝ATA，知ATA是对称矩阵． (Ⅰ)如果s＞n，则齐次方程组Aχ＝0有非零解，设为χ0，那么χ0T(ATA)χ0＝χ0TATAχ0＝0， χ0≠0．所以矩阵ATA不正定． (Ⅱ)如果s＝n，因为ai≠aj，｜A｜＝П(ai－aj)≠0，A是可逆矩阵，那么 B＝ATA＝ATEA． 即B与E合同．故矩阵B正定． (Ⅲ)如果s＜n，则因[*]可逆， 知[*]线性无关， 那么延伸后A的列向量仍线性无关． 从而，对任意χ≠0，恒有Aχ≠0，于是 χT(ATA)χ＝(Aχ)T(Aχ)＝‖Aχ‖2＞0． 即矩阵ATA正定．
解析
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考研数学一

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