已知A=,其中ai≠aj,i,j=1,2,…,s.试讨论矩阵ATA的正定性.

admin2018-06-12  25

问题 已知A=,其中ai≠aj,i,j=1,2,…,s.试讨论矩阵ATA的正定性.

选项

答案由(ATA)T=AT(AT)T=ATA,知ATA是对称矩阵. (Ⅰ)如果s>n,则齐次方程组Aχ=0有非零解,设为χ0,那么χ0T(ATA)χ0=χ0TAT0=0, χ0≠0.所以矩阵ATA不正定. (Ⅱ)如果s=n,因为ai≠aj,|A|=П(ai-aj)≠0,A是可逆矩阵,那么 B=ATA=ATEA. 即B与E合同.故矩阵B正定. (Ⅲ)如果s<n,则因[*]可逆, 知[*]线性无关, 那么延伸后A的列向量仍线性无关. 从而,对任意χ≠0,恒有Aχ≠0,于是 χT(ATA)χ=(Aχ)T(Aχ)=‖Aχ‖2>0. 即矩阵ATA正定.

解析
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