设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。（Ⅰ）求矩阵A的特征值；（Ⅱ）求可逆矩阵P使得P—1AP=Λ。

admin2017-12-29 19

问题设A为三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量，且满足Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃。
（Ⅰ）求矩阵A的特征值；
（Ⅱ）求可逆矩阵P使得P^—1AP=Λ。

选项

答案（Ⅰ）由已知可得 A（α₁，α₂，α₃）=（α₁+α₂+α₃，2α₂+α₃，2α₂+3α₃）=（α₁，α₂，α₃）[*] 记P₁=（α₁，α₂，α₃）， [*] 则有AP₁=P₁B。由于α₁，α₂，α₃线性无关，即矩阵P₁可逆，所以P₁^—1AP₁=B，因此矩阵A与B相似，则 [*]=（λ一1）²（λ一4），矩阵B的特征值是1，1，4，故矩阵A的特征值为1，1，4。（Ⅱ）由（E—B）x=0，得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量β₁=（一1，1，0）^T，β₂=（一2，0，1）^T；由（4E—B）x=0，得对应于特征值λ=4的特征向量β₃=（0，1，1）^T。令P₂=（β₁，β₂，β₃）=[*] P₂^—1P₁^—1AP₁P₂=[*] 即当P=P₁P₂=（α₁，α₂，α₃）[*]=（一α₁+α₂，一2α₁+α₂+α₃）时，有 [*]

解析

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考研数学三

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设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=1，证明：存在x2∈[0，1]使得|f(x2)|=4．

证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．

设有4阶方阵A满足条件|3E+A|=0，AAT=2E，|A|＜0，其中E是4阶单位阵．求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值．

设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．

已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记αj=[α1j，α2j，α3j，α4j]T，j=1，2，…，5．问：α4能否由α1，α2，α3线性表出，说明理由．

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记αj=[α1j，α2j，α3j，α4j]T，j=1，2，…，5．问：α4能否由α1，α2，α3，α5线性表出，说明理由．

设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)①的3个解，且则式①的通解为________．

当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在0．4至0．6之间的概率不小于0．97试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解(Ф(1．645)=0．95)

按住(　　)键，可以边移动边复制选择的图像。

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当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在0．4至0．6之间的概率不小于0．97试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解(Ф(1．645)=0．95)

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