2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明： f(a+b)≤f(a)+f(b)， 其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明： f(a+b)≤f(a)+f(b)， 其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

admin2016-07-22  76
问题 设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明：
    f(a+b)≤f(a)+f(b)，
其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．
选项
答案方法一 用拉格朗日中值定理． 当a=0时，等号成立． 当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，ξ1＜ξ2，使得[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]=af’(ξ2)-af’(ξ1)． 因为f’(x)在(0，c)内单调减少，所以f’(ξ2)≤f’(ξ1)，于是， [f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]≤0， 即f(a+b)≤f(a)+f(b)． 方法二 用函数的单调性． 将[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]中的b改写为x，构造辅助函数 F(x)=f(a+x)-f(x)-f(a)，x∈[0，b]， 显然F(0)=0，又因为f’(x)在(0，c)内单调减少，所以F’(x)=f’(a+x)-f’(x)≤0，于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)-f(b)-f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．
解析
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考研数学一

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