设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少,f(0)=0.试应用拉格朗日中值定理证明: f(a+b)≤f(a)+f(b), 其中常数a,b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c.

admin2016-07-22  34

问题 设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少,f(0)=0.试应用拉格朗日中值定理证明:
    f(a+b)≤f(a)+f(b),
其中常数a,b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c.

选项

答案方法一 用拉格朗日中值定理. 当a=0时,等号成立. 当a>0时,由于f(x)在区间[0,a]及[b,a+b]上满足拉格朗日中值定理,所以,存在ξ1∈(0,a),ξ2∈(b,a+b),ξ1<ξ2,使得[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]=af’(ξ2)-af’(ξ1). 因为f’(x)在(0,c)内单调减少,所以f’(ξ2)≤f’(ξ1),于是, [f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]≤0, 即f(a+b)≤f(a)+f(b). 方法二 用函数的单调性. 将[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]中的b改写为x,构造辅助函数 F(x)=f(a+x)-f(x)-f(a),x∈[0,b], 显然F(0)=0,又因为f’(x)在(0,c)内单调减少,所以F’(x)=f’(a+x)-f’(x)≤0,于是有F(b)≤F(0)=0,即f(a+b)-f(b)-f(a)≤0,即f(a+b)≤f(a)+f(b).

解析
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