2. 考研
  3. 设A是三阶实对称矩阵，A的特征值是λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=分别是λ1，λ2对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量是β=，求a及λ0的值，并求矩阵A．

设A是三阶实对称矩阵，A的特征值是λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=分别是λ1，λ2对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量是β=，求a及λ0的值，并求矩阵A．

admin2017-07-26  75
问题 设A是三阶实对称矩阵，A的特征值是λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=分别是λ1，λ2对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量是β=，求a及λ0的值，并求矩阵A．
选项
答案由题设有A*β=λ0β，于是AA*β=λ0Aβ，而AA*=｜A｜E，从而有Aβ=[*]的特征向量． 又α1，α2是实对称矩阵A属于不同特征值λ1，λ2的特征向量，必正交，即有 α1Tα2=a一1一a(a+1)+2=0，解得a=±1． 设α3=[*]为A的对应于λ1=一1的特征向量，由A是实对称矩阵知，α3与α1，α2均正交，即 [*] 由于β也为A的特征向量，应与α1，α2，α3中某一个成比例，显然不成立，故a=1不合题意． 当a=一1时，方程组为 [*] β与α3成比例，可见β也是A对应于特征值λ3=一1的特征向量，且有[*]=λ1λ2=2． 故a=一1，λ0=2． 由Aαi=λiai(i=1，2，3)，有A[α1，α2，α3]=[λ1α1，λ2α2，λ3α3]，于是 A=[λ1α1，λ2α2，λ3α3][α1，α2，α3]—1 [*]
解析
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考研数学三

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