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设A是三阶实对称矩阵,A的特征值是λ1=1,λ2=2,λ3=一1,且α1=分别是λ1,λ2对应的特征向量,A的伴随矩阵A*有特征值λ0,λ0所对应的特征向量是β=,求a及λ0的值,并求矩阵A.
设A是三阶实对称矩阵,A的特征值是λ1=1,λ2=2,λ3=一1,且α1=分别是λ1,λ2对应的特征向量,A的伴随矩阵A*有特征值λ0,λ0所对应的特征向量是β=,求a及λ0的值,并求矩阵A.
admin
2017-07-26
68
问题
设A是三阶实对称矩阵,A的特征值是λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一1,且α
1
=
分别是λ
1
,λ
2
对应的特征向量,A的伴随矩阵A
*
有特征值λ
0
,λ
0
所对应的特征向量是β=
,求a及λ
0
的值,并求矩阵A.
选项
答案
由题设有A
*
β=λ
0
β,于是AA
*
β=λ
0
Aβ,而AA
*
=|A|E,从而有Aβ=[*]的特征向量. 又α
1
,α
2
是实对称矩阵A属于不同特征值λ
1
,λ
2
的特征向量,必正交,即有 α
1
T
α
2
=a一1一a(a+1)+2=0,解得a=±1. 设α
3
=[*]为A的对应于λ
1
=一1的特征向量,由A是实对称矩阵知,α
3
与α
1
,α
2
均正交,即 [*] 由于β也为A的特征向量,应与α
1
,α
2
,α
3
中某一个成比例,显然不成立,故a=1不合题意. 当a=一1时,方程组为 [*] β与α
3
成比例,可见β也是A对应于特征值λ
3
=一1的特征向量,且有[*]=λ
1
λ
2
=2. 故a=一1,λ
0
=2. 由Aα
i
=λ
i
ai(i=1,2,3),有A[α
1
,α
2
,α
3
]=[λ
1
α
1
,λ
2
α
2
,λ
3
α
3
],于是 A=[λ
1
α
1
,λ
2
α
2
,λ
3
α
3
][α
1
,α
2
,α
3
]
—1
[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PgH4777K
0
考研数学三
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