设A是三阶实对称矩阵,A的特征值是λ1=1,λ2=2,λ3=一1,且α1=分别是λ1,λ2对应的特征向量,A的伴随矩阵A*有特征值λ0,λ0所对应的特征向量是β=,求a及λ0的值,并求矩阵A.

admin2017-07-26  49

问题 设A是三阶实对称矩阵,A的特征值是λ1=1,λ2=2,λ3=一1,且α1=分别是λ1,λ2对应的特征向量,A的伴随矩阵A*有特征值λ0,λ0所对应的特征向量是β=,求a及λ0的值,并求矩阵A.

选项

答案由题设有A*β=λ0β,于是AA*β=λ0Aβ,而AA*=|A|E,从而有Aβ=[*]的特征向量. 又α1,α2是实对称矩阵A属于不同特征值λ1,λ2的特征向量,必正交,即有 α1Tα2=a一1一a(a+1)+2=0,解得a=±1. 设α3=[*]为A的对应于λ1=一1的特征向量,由A是实对称矩阵知,α3与α1,α2均正交,即 [*] 由于β也为A的特征向量,应与α1,α2,α3中某一个成比例,显然不成立,故a=1不合题意. 当a=一1时,方程组为 [*] β与α3成比例,可见β也是A对应于特征值λ3=一1的特征向量,且有[*]=λ1λ2=2. 故a=一1,λ0=2. 由Aαiiai(i=1,2,3),有A[α1,α2,α3]=[λ1α1,λ2α2,λ3α3],于是 A=[λ1α1,λ2α2,λ3α3][α1,α2,α3]—1 [*]

解析
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