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设4阶矩阵A满足A3=A. (1)证明A的特征值不能为0,1,和-1以外的数. (2)如果A还满足|A+2E|=8,确定A的特征值.
设4阶矩阵A满足A3=A. (1)证明A的特征值不能为0,1,和-1以外的数. (2)如果A还满足|A+2E|=8,确定A的特征值.
admin
2017-08-07
19
问题
设4阶矩阵A满足A
3
=A.
(1)证明A的特征值不能为0,1,和-1以外的数.
(2)如果A还满足|A+2E|=8,确定A的特征值.
选项
答案
(1)由于A
3
=A,A的特征值λ满足λ
3
=λ,从而λ只能为0,1或一1(但并非0,1,一1都一定是A的特征值!). (2)由A的特征值不是0,1,一1外的数,得知A+2E的特征值不是2,3,1之外的数.又由于|A+2E|=8,必有A+2E的特征值为2,2,2,1,从而A的特征值为0,0,0,一1.
解析
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考研数学一
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