2. 考研
  3. 在命题 ①若f(x)在x=a处连续，且｜f(x)｜在x=a处可导，则f(x)在x=a处必可导， ②若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x一a)φ(x)在x=a处必可导， ③若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x一a)｜φ(x)｜在x=a

在命题 ①若f(x)在x=a处连续，且｜f(x)｜在x=a处可导，则f(x)在x=a处必可导， ②若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x一a)φ(x)在x=a处必可导， ③若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x一a)｜φ(x)｜在x=a

admin2020-03-24  25
问题 在命题
  ①若f(x)在x=a处连续，且｜f(x)｜在x=a处可导，则f(x)在x=a处必可导，
  ②若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x一a)φ(x)在x=a处必可导，
  ③若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x一a)｜φ(x)｜在x=a处必不可导，
  ④若f(x)在x=a处连续，且存在，则f(x)在x=a处必可导
  中正确的是
选项 A、①②．
B、①③．
C、①②③．
D、②④．
答案A
解析 ①是正确的．设f(a)≠0，不妨设f(a)＞0，由于f(x)在x=a处连续，故存在δ＞0，当x∈(a一δ，a+δ)时f(x)＞0，于是在此区间上f(x)≡｜f(x)｜，故f’(a)=[｜f(x)｜]’x=a存在．若f(a)＜0可类似证明．
    若f(a)=0，则

所以由夹逼定理得f’(a)==0．
    ②是正确的．因为
    =φ(a)，所以f’(a)=φ(a)．
    ③是错误的．由②正确即知③是错误的．无妨取反例：φ(x)=x2，则
    f(x)=(x一a)｜φ(x)｜=(x一a)x2，
    =a2，即f(x)在x=a处可导．
    ④也不正确．可取反例：f(x)=｜x｜，显然f(x)在x=0处不可导，但
    存在．
综上分析，应选A．
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考研数学三

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