设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明：A+E的行列式大于1．

admin2019-03-12 148

问题设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明：A+E的行列式大于1．

选项

答案1 因A正定，有正交阵P，使 P^－1AP=P^TAP [*] 其中λ_i＞0(i=1，2，…，n) 故 P^－1(A+E)P=P^－1AP+E [*] 两端取行列式，得|A+E|=(λ₁+1)(λ₂+1)…(λ_n+1)＞1． 2 设λ为A+E的特征值，则有向量x≠0，使 (A+E)x=λx 或Ax=(λ－1)x 故λ－1为A的特征值，因A正定，有λ－1＞0，即λ＞1．故A+E的特征值全都大于1，因为A+E所有特征值的乘积等于|A+E|，故得|A+E|＞1．

解析

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