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设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明:A+E的行列式大于1.
设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明:A+E的行列式大于1.
admin
2019-03-12
68
问题
设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明:A+E的行列式大于1.
选项
答案
1 因A正定,有正交阵P,使 P
-1
AP=P
T
AP [*] 其中λ
i
>0(i=1,2,…,n) 故 P
-1
(A+E)P=P
-1
AP+E [*] 两端取行列式,得|A+E|=(λ
1
+1)(λ
2
+1)…(λ
n
+1)>1. 2 设λ为A+E的特征值,则有向量x≠0,使 (A+E)x=λx 或Ax=(λ-1)x 故λ-1为A的特征值,因A正定,有λ-1>0,即λ>1.故A+E的特征值全都大于1,因为A+E所有特征值的乘积等于|A+E|,故得|A+E|>1.
解析
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考研数学三
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