设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且,又f(2)= ,证明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)+f"(ξ)=0.

admin2018-11-22  33

问题 设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且,又f(2)= ,证明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)+f"(ξ)=0.

选项

答案 [*] 由积分中值定理得f(2)=[*]=f(c),其中c∈[*], 由罗尔定理,存在x0∈(c,2)[*](1,2),使得f’(x0)=0. 令φ(x)=exf’(x),则φ(1)=φ(x0)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(1,x0)[*](0,2),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=ex[f’(x)+f"(x)]且ex≠0,所以f’(ξ)+f"(ξ)=0.

解析
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