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设η1,η2,η3,η4是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则Ax=0的基础解系还可以是( )
设η1,η2,η3,η4是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则Ax=0的基础解系还可以是( )
admin
2019-02-23
52
问题
设η
1
,η
2
,η
3
,η
4
是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则Ax=0的基础解系还可以是( )
选项
A、η
1
-η
2
,η
2
+η
3
,η
3
-η
4
,η
4
+η
1
。
B、η
1
+η
2
,η
2
+η
3
+η
4
,η
1
-η
2
+η
3
。
C、η
1
+η
2
,η
2
+η
3
,η
3
+η
4
,η
4
+η
1
。
D、η
1
+η
2
,η
2
-η
3
,η
3
+η
4
,η
4
+η
1
。
答案
D
解析
由已知条件,Ax=0的基础解系是由四个线性无关的解向量构成的,而选项(B)中仅三个解向量,不符合要求,故选项(B)不是基础解系。
选项(A)和选项(C)中,都有四个解向量,但因为
(η
1
-η
2
)+(η
2
+η
3
)-(η
3
-η
4
)-(η
4
+η
1
)=0,
(η
1
+η
2
)-(η
2
+η
3
)+(η
3
+η
4
)-(η
4
+η
1
)=0,
说明(A)、(C)中的向量组均线性相关,因而选项(A)、(C)也不是基础解系。
用排除法可知选项(D)正确。或者由
(η
1
+η
2
,η
2
-η
3
,η
3
+η
4
,η
4
+η
1
)=(η
1
,η
2
,η
3
,η
4
)
而
知η
1
+η
2
,η
2
-η
3
,η
3
+η
4
,η
4
+η
1
线性无关,又因η
1
+η
2
,η
2
-η
3
,η
3
+η
4
,η
4
+η
1
均是Ax=0的解,且解向量个数为4,所以选项(D)是基础解系。
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