设总体X的概率密度为 f(χ；θ)＝，－∞＜χ＜＋∞，0＞0． X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本．求θ的矩估计量与最大似然估计量．

admin2019-07-19 25

问题设总体X的概率密度为
f(χ；θ)＝

，－∞＜χ＜＋∞，0＞0．
X₁，X₂，…，X_n是取自总体X的简单随机样本．求θ的矩估计量与最大似然估计量．

选项

答案总体X的概率密度中只有一个未知参数，在求θ的矩估计量时我们首先考察X的期望，但是f(χ)是一个偶函数，其数学期望为零．无法得到θ与EX的关系进行θ的矩估计，为此我们应该计算X的二阶原点矩EX²： EX²＝∫_－∞^＋∞χ²f(χ；θ)dχ＝[*] 注意到被积函数中g(χ)＝[*]是参数为[*]的指数分布，因此积分[*]可以看作是参数为[*]的指数分布的随机变量Y的二阶原点矩，其值为 EY²＝DY＋(EY²)＝θ²＋θ²＝2θ²．又EX²＝2θ²，θ＝[*]，于是θ的矩估量为[*]．设χ₁，χ₂，…，χ_n是样本X₁，X₂，…，X_n的观测值，似然函数为 [*] 解上述方程得θ的最大似然估计值为[*]｜χ｜，因此θ的最大似然估计量为[*]．

解析

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考研数学一

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设总体X的概率密度为 f(χ；θ)＝，－∞＜χ＜＋∞，0＞0． X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本．求θ的矩估计量与最大似然估计量．

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