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设f(x)在区间(一∞,+∞)内具有连续的一阶导数,并设 f(x)=2∫0xf’(x—t)t2dt+sin x, 求f(x).
设f(x)在区间(一∞,+∞)内具有连续的一阶导数,并设 f(x)=2∫0xf’(x—t)t2dt+sin x, 求f(x).
admin
2018-09-20
36
问题
设f(x)在区间(一∞,+∞)内具有连续的一阶导数,并设
f(x)=2∫
0
x
f’(x—t)t
2
dt+sin x,
求f(x).
选项
答案
f(x)=2∫
0
x
f’(x-t)t
2
dt+sin x =一2∫
0
x
t
2
d[f(x—t)]+sin x =一2[t
2
f[(x一t)|
0
x
—2∫
0
x
tf(x一t)dt]+sin x =一2[x
2
f(0)-0-2∫
x
0
(x一u)f(u)(一du)]+sin x =-2x
2
f(0)+4x∫
0
x
f(u)du一4∫
0
x
uf(u)du+sin x, f’(x)=一4xf(0)+4∫
0
x
f(u)du+4xf(x)一4xf(x)+cosx =一4xf(0)+4∫
0
x
f(u)du+cos x, f"(x)=一4f(0)+4f(x)一sinx. 由上述表达式可见有f(0)=0,f’(0)=1.所以 f”(x)一4f(x)=一sinx. 解得 f(x)=C
1
e
2x
+C
2
e
-2x
+[*] 由f(0)=0,f’(0)=1,得 C
1
+C
2
=0, 2C
1
一2C
2
+[*] 所以[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nxW4777K
0
考研数学三
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