设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(—1，2，—1)T，α2=(0，—1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。求正交矩阵Q和对角矩阵Λ ，使得QTAQ=Λ 。

admin2018-12-29 42

问题设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(—1，2，—1)^T，α₂=(0，—1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解。
求正交矩阵Q和对角矩阵Λ ，使得Q^TAQ=Λ 。

选项

答案因为A是实对称矩阵，所以α与α₁，α₂正交，只需将α₁与α₂正交化。由施密特正交化法，取 β₁=α₁，β₂=α₂—[*]。再将α，β₁，β₂单位化，得 [*] 令Q=(η₁，η₂，η₃)，则Q^—1=Q^T，且Q^TAQ=[*]。

解析

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