设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )

admin2020-03-01  30

问题 设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是(    )

选项 A、P-1α。
B、PTα。
C、Pα。
D、(P-1)Tα。

答案B

解析 设β是矩阵(PTAP)T属于λ的特征向量,并考虑到A为实对称矩阵AT=A,有
(P-1AP)Tβ=λβ,即PTA(P-1)Tβ=λβ。
把四个选项中的向量逐一代入上式替换β,同时考虑到Aα=λα,可得选项B正确,即
左端=PTA(P-1)T(PTα)=PTAα=PTλα=λPTα=右端。
所以应选B。
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