设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )

admin2020-03-01 46

问题设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P^－1AP)^T属于特征值λ的特征向量是( )

选项 A、P^－1α。
B、P^Tα。
C、Pα。
D、(P^－1)^Tα。

答案B

解析设β是矩阵(P^TAP)^T属于λ的特征向量，并考虑到A为实对称矩阵A^T=A，有
(P^－1AP)^Tβ=λβ，即P^TA(P^－1)^Tβ=λβ。
把四个选项中的向量逐一代入上式替换β，同时考虑到Aα=λα，可得选项B正确，即
左端=P^TA(P^－1)^T(P^Tα)=P^TAα=P^Tλα=λP^Tα=右端。
所以应选B。

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