首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…ηn—r+1是它的n一r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn—r+1ηn—r+1,其中k1+…+kn—r+1=1。
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…ηn—r+1是它的n一r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn—r+1ηn—r+1,其中k1+…+kn—r+1=1。
admin
2019-02-23
47
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…η
n—r+1
是它的n一r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=k
1
η
1
+…+k
n—r+1
η
n—r+1
,其中k
1
+…+k
n—r+1
=1。
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n—r+1
线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ
1
=η
1
一η
2
,ξ
2
=η
2
一η
1
,…,ξ
n—r
=η
n—r+1
一η
1
,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程组Ax=0的解。 下面用反证法证明。 设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n—r
,使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
n—r
ξ
n—r
=0, 即 l
1
(η
2
一η
1
)+l
2
(η
3
一η
2
)+…+l
n—r
(η
n—r+1
一η
1
)=0, 即 一(l
1
+l
2
+…+l
n—r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n—r
η
n—r+1
=0。 由η
1
,η
2
,…,η
n—r+1
线性无关知 一(l
1
+l
2
+…+l
n—r
)=l
1
=l
2
=…=l
n—r
=0, 这与l
1
,l
2
,…,l
n—r
不全为零矛盾,故假设不成立。因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性无关,是Ax=0的基础解系。 由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x一η
1
为Ax=0的解,因此x一η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性表示,设 x一η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n—r+1
ξ
n—r
=k
2
(η
2
一η
1
)+k
3
(η
3
一η
1
)+…+k
n—r+1
(η
n—r+1
一η
1
), 则 x=η
1
(1一k
2
一k
3
一…一k
n—r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n—r+1
η
n—r+1
, 令k
1
=1一k
2
一k
3
一…一k
n—t+1
,则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n—r+1
=1,从而x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n—r+1
η
n—r+1
恒成立。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aij4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设在区间[a,b]上f(x)>0,f’(x)<0,f’’(x)>0,令S1=,S2=f(b)(b-a),S3=[f(a)+f(b)],则().
设z=f[xg(y),x-y],其中f二阶连续可偏导,g二阶可导,求
设u=f(x+y,x2+y2),其中f二阶连续可偏导,求
已知α=(1,1,-1)T是A=的特征向量,求a,b和α的特征值λ.
设n维向量组α1,α2,…,αs线性相关,并且α1≠0,证明存在1<k≤s,使得αk可用α1,…,αk-1线性表示.
求极限:.
已知n阶矩阵A满足(A-aE)(A-bE)=0,其中a≠b,证明A可对角化.
求函数的间断点,并指出其类型。
设矩阵三阶矩阵B满足ABA*=E—BA一1,试计算行列式|B|。
已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解,则方程的通解为()
随机试题
以下对胃的描述哪项是错误的
卵巢性闭经的临床、实验室表现中下述何项是错误的:
可摘局部义齿基托不具备的功能是
风险应对计划主要包括( )
当冷源采用蓄冷水池蓄冷时宜采用的空调水系统是( )。
下列关于全额结算方式的说法中,错误的是()。
现代市场经济中,决定财政职能范围的是()。
把文言文阅读材料中画横线的句子翻译成现代汉语。今作郡而送之,是贵城阳太守而贱梁柳,岂中古人之道?是非吾心所安也。
设积分区域D={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},则二重积分=_______.
Aneweconomicspaperhassomeold-fashionedadviceforpeoplenavigatingthestressesoflife:Findaspousewhoisalsoyourb
最新回复
(
0
)