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  3. (2000年试题，十一)函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式 (1)求导数f’(x)； (2)证明：当x≥0时，成立不等式：e-sf(x)≤1．

(2000年试题，十一)函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式 (1)求导数f’(x)； (2)证明：当x≥0时，成立不等式：e-sf(x)≤1．

admin2019-04-17  52
问题 (2000年试题，十一)函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式
(1)求导数f’(x)；
(2)证明：当x≥0时，成立不等式：e-sf(x)≤1．
选项
答案由题设[*]知[*]此式两边对x求导，得(x+1)f’’(x)+f’(x)+f(x)+(x+1)f’(x)一f(x)=0，即(x+1)’’(x)+(x+2)．f’(x)=0此为关于f’(x)的可分离变量方程，令f’(x)=u，则f’’(x)=u’，因此[*]两边积分可得[*]即[*](1)又由原题设等式[*]知f’(0)+f(0)=0，且已知条件f(0)=1可推知f’(0)=一1，代入(1)式，解得C=-1，所以[*]关于(2)中不等式的证明，可采用以下两种方法：(I)由(1)已知结论f’(x)[*]当x≥0时，f’(x)<0，从而f(x)单调减少．又由f(0)=1，知f(x)≤f(0)=1，x≥0引入辅助函数φ(x)=f(x)一e-x，显然有φ(0)=0，且[*]从而φ(x)单调增加，即当x≥0时，有φ(x)≥φ(0)，即φ(0)≥e-x．综上，当x≥0时，e-sf(x)≤1成立．(Ⅱ)同样由(1)知，[*]即[*]则当x≥0时，[*]所以e-2≤f(x)≤1[评注]如果已知f’(x)的表达式或某种性质，但很难通过不定积分求出f(x)的表达式，则可以通过变限积限积分建立f(x)与f’(x)之间的联系，即有[*]要注意解题技巧．
解析
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考研数学二

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