设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式 ①PA=B． ②P-1ABP=BA ③P-1AP=B． ④PTA2P=B2．成立的个数是 ( )

admin2014-04-23 73

问题设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式
①PA=B．
②P^-1ABP=BA
③P^-1AP=B．
④P^TA²P=B²．
成立的个数是 ( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案C

解析逐个分析关系式是否成立．①式成立．因为A，B均是n阶可逆矩阵，故存在可逆阵Q，Q，使QA=E，WB=E(可逆阵可通过初等行变换化为单位阵)，故有QA=WB，W^-1QA=B．记W^-1Q=P，则有PA=B成立．故①式成立．②式成立．因为A，B均是n阶可逆矩阵，可取P=A，则有A^-1(AB)A=(A^-1A)BA=BA．故②式成立．③式不成立．
因为A．B均是n阶实对称矩阵，它们均可以相似于对角阵，但不一定相似于同一个对角阵，即A，B之间不一定相似．例如

(均满足题设的实对称可逆阵的要求)，但对任意可逆阵P，均有P^-1AP=P^-1EP=E≠B．故③式不成立．④式成立．
因为A，B均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A²，B²的特征值均大于零．故A²，B²的正惯性指数为n(秩为n负惯性指数为0)，故A²

B存在可逆阵P，使得p^TA²P=B²，故①式成立．
由上分析，故应选C．
【注】由本题可知，两个同阶可逆阵A，B必是等价的(由式①知)，且其积AB，BA必是相似的(由式②知)．但A，B不一定相似(由式③知)，但两个实对称可逆阵A，B，其平方A²与B²一定是合同的(由式④知)．

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考研数学一

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