2. 考研
  3. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得 2e2ξ－η=(ea+eb)[f′(η)+f(η)]．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得 2e2ξ－η=(ea+eb)[f′(η)+f(η)]．

admin2021-11-15  11
问题 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得
2e2ξ－η=(ea+eb)[f′(η)+f(η)]．
选项
答案令φ(x)=exf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得 [*]=eη[f′(η)+f(η)]， 再由f(a)=f(b)=1，得[*]=eη[f′(η)+f(η)]， 从而[*]=(ea+eb)eη[f′(η)+f(η)]， 令φ(x)=e2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得[*]=2e2ξ． 即2e2ξ=(ea+eb)eη[f′(η)+f(η)]，或2e2ξ－η=(ea+eb)[f′(η)+f(η)]．
解析
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考研数学一

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