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已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)-0,f(1)=1。证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ; (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1。
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)-0,f(1)=1。证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ; (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1。
admin
2020-03-05
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问题
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)-0,f(1)=1。证明:
(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ;
(Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1。
选项
答案
(Ⅰ)令F(x)=f(x)-1+x,则F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=-1<00,F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ。 (Ⅱ)在[0,ξ]和[ξ,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,知存在两个不同的点η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1),使得 [*]
解析
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考研数学一
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