设A是3阶矩阵,b=[9,18,-18]T,方程Ax=b有通解k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,-2]T,其中k1,k2是任意常数,求A及A100.

admin2019-07-19  56

问题 设A是3阶矩阵,b=[9,18,-18]T,方程Ax=b有通解k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,-2]T,其中k1,k2是任意常数,求A及A100

选项

答案方法一 由题设条件知,对应齐次方程的基础解系是ξ1=[-2,1,0]T,ξ2=[2,0,1]T, 即ξ1,ξ2是A的对应于λ=0的两个线性无关的特征向量,又η=[1,2,-2]T是Ax=b的特解,即有 [*] 知ξ3=[1,2,-2]T=η是A的对应于λ=9的特征向量,取可逆阵P=[ξ1,ξ2,ξ3],则得 P-1AP=Λ,A=PΛP-1, [*] 或 A100=(PΛP-1)100=PΛ100P-1 [*] 方法二 由方程的通解直接求出系数矩阵A. 因对应齐次方程Ax=0有通解为k1ξ1+k2ξ2=k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T,故r(A)=1. 可设方程为 ax1+bx2+xx3=0, 将ξ1,ξ2代入,则有 [*] 得c=-2a,b=2a,故方程为 a(x1+2x2-2x3)=0. 对应的非齐次方程为 [*] 将特解η=[1,2,-2]T代入得k1=1,k2=2,k3=-2. 故得对应矩阵 [*] 再求A100.(同方法一) 或因Aξ1=0,故A100ξ1=0;Aξ2=0,故A100ξ2=0.Aη=9ζ,故A100η=9100η. 故 A1001,ξ2,η]=[0,0,9100η]. A100=[0,0,9100η][ξ1,ξ2,η]-1= [*] =999A.

解析
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