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设A是3阶矩阵,b=[9,18,-18]T,方程Ax=b有通解k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,-2]T,其中k1,k2是任意常数,求A及A100.
设A是3阶矩阵,b=[9,18,-18]T,方程Ax=b有通解k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,-2]T,其中k1,k2是任意常数,求A及A100.
admin
2019-07-19
73
问题
设A是3阶矩阵,b=[9,18,-18]
T
,方程Ax=b有通解k
1
[-2,1,0]
T
+k
2
[2,0,1]
T
+[1,2,-2]
T
,其中k
1
,k
2
是任意常数,求A及A
100
.
选项
答案
方法一 由题设条件知,对应齐次方程的基础解系是ξ
1
=[-2,1,0]
T
,ξ
2
=[2,0,1]
T
, 即ξ
1
,ξ
2
是A的对应于λ=0的两个线性无关的特征向量,又η=[1,2,-2]
T
是Ax=b的特解,即有 [*] 知ξ
3
=[1,2,-2]
T
=η是A的对应于λ=9的特征向量,取可逆阵P=[ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
],则得 P
-1
AP=Λ,A=PΛP
-1
, [*] 或 A
100
=(PΛP
-1
)
100
=PΛ
100
P
-1
[*] 方法二 由方程的通解直接求出系数矩阵A. 因对应齐次方程Ax=0有通解为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
=k
1
[-2,1,0]
T
+k
2
[2,0,1]
T
,故r(A)=1. 可设方程为 ax
1
+bx
2
+xx
3
=0, 将ξ
1
,ξ
2
代入,则有 [*] 得c=-2a,b=2a,故方程为 a(x
1
+2x
2
-2x
3
)=0. 对应的非齐次方程为 [*] 将特解η=[1,2,-2]
T
代入得k
1
=1,k
2
=2,k
3
=-2. 故得对应矩阵 [*] 再求A
100
.(同方法一) 或因Aξ
1
=0,故A
100
ξ
1
=0;Aξ
2
=0,故A
100
ξ
2
=0.Aη=9ζ,故A
100
η=9
100
η. 故 A
100
[ξ
1
,ξ
2
,η]=[0,0,9
100
η]. A
100
=[0,0,9
100
η][ξ
1
,ξ
2
,η]
-1
= [*] =9
99
A.
解析
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考研数学一
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