2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，b=[9，18，－18]T，方程Ax=b有通解k1[－2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，－2]T，其中k1，k2是任意常数，求A及A100．

设A是3阶矩阵，b=[9，18，－18]T，方程Ax=b有通解k1[－2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，－2]T，其中k1，k2是任意常数，求A及A100．

admin2019-07-19  79
问题 设A是3阶矩阵，b=[9，18，－18]T，方程Ax=b有通解k1[－2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，－2]T，其中k1，k2是任意常数，求A及A100．
选项
答案方法一 由题设条件知，对应齐次方程的基础解系是ξ1=[－2，1，0]T，ξ2=[2，0，1]T， 即ξ1，ξ2是A的对应于λ=0的两个线性无关的特征向量，又η=[1，2，－2]T是Ax=b的特解，即有 [*] 知ξ3=[1，2，－2]T=η是A的对应于λ=9的特征向量，取可逆阵P=[ξ1，ξ2，ξ3]，则得 P－1AP=Λ，A=PΛP－1， [*] 或 A100=(PΛP－1)100=PΛ100P－1 [*] 方法二 由方程的通解直接求出系数矩阵A． 因对应齐次方程Ax=0有通解为k1ξ1+k2ξ2=k1[－2，1，0]T+k2[2，0，1]T，故r(A)=1． 可设方程为 ax1+bx2+xx3=0， 将ξ1，ξ2代入，则有 [*] 得c=－2a，b=2a，故方程为 a(x1+2x2－2x3)=0． 对应的非齐次方程为 [*] 将特解η=[1，2，－2]T代入得k1=1，k2=2，k3=－2． 故得对应矩阵 [*] 再求A100．(同方法一) 或因Aξ1=0，故A100ξ1=0；Aξ2=0，故A100ξ2=0．Aη=9ζ，故A100η=9100η． 故 A100[ξ1，ξ2，η]=[0，0，9100η]． A100=[0，0，9100η][ξ1，ξ2，η]－1= [*] =999A．
解析
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考研数学一

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