设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组(I):AX=0和(Ⅱ):ATAX=0,必有

admin2013-04-04  41

问题 设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组(I):AX=0和(Ⅱ):ATAX=0,必有

选项 A、(Ⅱ)的解是(I)的解,(I)的解也是(Ⅱ)的解.
B、(Ⅱ)的解是(I)的解,但(I)的解不是(Ⅱ)的解.
C、(I)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(I)的解.
D、(I)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(I)的解.

答案

解析 若η是(I)的解,则Aη=0,那么(ATA)η=AT(Aη)=AT0=0,即η是(Ⅱ)的解。
    若a是(Ⅱ)的解,有ATAα=0,用αT左乘得αTATAα=0.即(Aα)T(Aα)=0.亦即Aα自己的内
积(Aα,Aα)=0,故必有Aα=0,即α是(I)的解.
    所以(I)与(Ⅱ)同解,故应选(A).
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