2. 考研
  3. 微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )．

微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )．

admin2019-03-22  54
问题 微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为(    )．
选项 A、y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)
B、y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)
C、y*=ax2+bx+c+Asinx
D、y*=ax2+bx+c+Acosx
答案A
解析 对应齐次方程y"+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i．对于y"+y=x2+1=e0x(x2+1)而言，因0不是其特征根，故其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c．
    对y"+y=sinx=e0x(0·cosx+1·sinx)(α=0，β=1)，因α+iβ=0+i·1=i为特征根，故其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，从而由命题1．6．3．2知，y"+y=x2+1+sinx的特解形式为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．仅(A)入选．
    (注：命题1．6．3．2(叠加原理)  设y"+P(x)y=f1(x)+f2(x)，而y1*(x)与y2*(x)分别是
               y"+P(x)y’+Q(x)y=f1(x)，  y"+P(x)y’+Q(x)y=f2(x)
的特解，则y1*+y2*是方程y"+P(x)y’+Q(x)y=f1(x)+f2(x)的特解．
    当二阶线性方程的非齐次项是不同类型函数的线性组合时，常用叠加原理求得特解．)
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考研数学三

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