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微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( ).
微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( ).
admin
2019-03-22
49
问题
微分方程y"+y=x
2
+1+sinx的特解形式可设为( ).
选项
A、y
*
=ax
2
+bx+c+x(Asinx+Bcosx)
B、y
*
=x(ax
2
+bx+c+Asinx+Bcosx)
C、y
*
=ax
2
+bx+c+Asinx
D、y
*
=ax
2
+bx+c+Acosx
答案
A
解析
对应齐次方程y"+y=0的特征方程为λ
2
+1=0,特征根为λ=±i.对于y"+y=x
2
+1=e
0x
(x
2
+1)而言,因0不是其特征根,故其特解形式可设为y
1
*
=ax
2
+bx+c.
对y"+y=sinx=e
0x
(0·cosx+1·sinx)(α=0,β=1),因α+iβ=0+i·1=i为特征根,故其特解形式可设为y
2
*
=x(Asinx+Bcosx),从而由命题1.6.3.2知,y"+y=x
2
+1+sinx的特解形式为y
*
=ax
2
+bx+c+x(Asinx+Bcosx).仅(A)入选.
(注:命题1.6.3.2(叠加原理) 设y"+P(x)y=f
1
(x)+f
2
(x),而y
1
*
(x)与y
2
*
(x)分别是
y"+P(x)y’+Q(x)y=f
1
(x), y"+P(x)y’+Q(x)y=f
2
(x)
的特解,则y
1
*
+y
2
*
是方程y"+P(x)y’+Q(x)y=f
1
(x)+f
2
(x)的特解.
当二阶线性方程的非齐次项是不同类型函数的线性组合时,常用叠加原理求得特解.)
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