设曲线＝1(0＜a＜4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)＋V2(a)最大，并求最大值．

admin2017-12-31 159

问题设曲线

＝1(0＜a＜4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转所得立体体积为V₁(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V₂(a)，问a为何值时，V₁(a)＋V₂(a)最大，并求最大值．

选项

答案曲线与x轴和Y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b＝4－a．曲线可化为 y＝[*]，对任意的[x，x＋dx][*][0，a]，dV₂＝2πx．[*] 于是V₂＝2π∫₀^ax．[*]，根据对称性，有V₁＝[*]ab²．于是V(a)＝V₁(a)＋V₂(a)＝[*](4－a)．令V’_a＝[*]a＝2，又V’’(2)＜0，所以a＝2时，两体积之和最大，且最大值为V(2)＝[*]π．

解析

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考研数学三

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