设总体X的概率密度为其中θ∈(0，+∞)为未知参数X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，T=max{X1，X2，…，Xn}。 (Ⅰ)求T的概率密度； (Ⅱ)确定a，使得aT为θ的无偏估计。

admin2018-04-11 55

问题设总体X的概率密度为

其中θ∈(0，+∞)为未知参数X₁，X₂，…，X_n为来自总体X的简单随机样本，T=max{X₁，X₂，…，X_n}。
(Ⅰ)求T的概率密度；
(Ⅱ)确定a，使得aT为θ的无偏估计。

选项

答案(Ⅰ)设X的分布函数为F(x)。当0＜x＜θ时，F(x)=[*]，所以 [*] 则T的分布函数为 F_T(x)=P{T≤x}=P{X₁≤x，X₂≤x，X₃≤x} =[*]P{X₁≤x}=[F(x)]³，于是T的概率密度为 f_T(x)=3[F(x)]²f(x)=[*] (Ⅱ) E(aT)=a．E(T)=a∫_—∞^+∞xf_T(x)dx=a∫₀^θ9x⁹/θ⁹dx=9a/10θ，令E(aT)=θ，则a=10/9。

解析

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考研数学一

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