设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，试证α1，α2，α3线性无关．

admin2021-02-25 41

问题设A是n阶矩阵，α₁，α₂，α₃是n维列向量，且α₁≠0，Aα₁=α₁，Aα₂=α₁+α₂，Aα₃=α₂+α₃，试证α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案由Aα₁=α₁，Aα₂=α₁+α₂，Aα₃=α₂+α₃，得(A-E)α₁=0，(A-E)α₂=α₁，(A-E)α₃=α₂．设数λ₁，λ₂，λ₃，使 λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃=0， (1) 用A-E左乘上式两边，得 λ₂α₁+λ₃α₂=0． (2) 再用A-E左乘(2)式两边，得 λ₃α₁=0．而α₁≠0，于是λ₃=0．代入(1)、(2)，得 λ₂=0，λ₁=0，故α₁，α₂，α₃线性无关．

解析本题考查向量组线性相关性的概念，是比较典型的证明方法．

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考研数学二

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证明
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设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=一1，λ3=0；对应λ1，λ2的特征向量依次为P1=(1，2，2)T，P2=(2，1，一2)T，求A。

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