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设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:2x-∫0xf(t)dt=1在(0,1)有且仅有一个根.
设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:2x-∫0xf(t)dt=1在(0,1)有且仅有一个根.
admin
2021-10-18
45
问题
设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:2x-∫
0
x
f(t)dt=1在(0,1)有且仅有一个根.
选项
答案
令φ(x)=2x∫
0
x
f(t)dt-1,φ(0)=-1, φ(1)=1-∫
0
1
f(t)dt,因为f(x)<1,所以∫
0
1
f(t)dt>1,从而φ(0)φ(1)<0,由零点定理,存在c∈(0,1),使得φ(c)=0.因为φ’(x)=2-f(x)>0,所以φ(x)在[0,1]上单调增加,故方程2x-∫
0
x
f(t)dt=1有且仅有一个根.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Qty4777K
0
考研数学二
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