设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x-∫0xf(t)dt=1在(0，1)有且仅有一个根．

admin2021-10-18 64

问题设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x-∫₀^xf(t)dt=1在(0，1)有且仅有一个根．

选项

答案令φ(x)=2x∫₀^xf(t)dt-1，φ(0)=-1， φ(1)=1-∫₀¹f(t)dt，因为f(x)＜1，所以∫₀¹f(t)dt＞1，从而φ(0)φ(1)＜0，由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0．因为φ’(x)=2-f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上单调增加，故方程2x-∫₀^xf(t)dt=1有且仅有一个根．

解析

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