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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x-∫0xf(t)dt=1在(0，1)有且仅有一个根．

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x-∫0xf(t)dt=1在(0，1)有且仅有一个根．

admin2021-10-18  33
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x-∫0xf(t)dt=1在(0，1)有且仅有一个根．
选项
答案令φ(x)=2x∫0xf(t)dt-1，φ(0)=-1， φ(1)=1-∫01f(t)dt，因为f(x)＜1，所以∫01f(t)dt＞1，从而φ(0)φ(1)＜0，由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0．因为φ’(x)=2-f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上单调增加，故方程2x-∫0xf(t)dt=1有且仅有一个根．
解析
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考研数学二

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