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若函数φ(x)及ψ(x)是x阶可微的,且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0),k=0,1,2,…,n一1,又x>x0时,φ(n)(x)>ψ(n)(x).试证:当x>x0时,φ(x)>ψ(x) .
若函数φ(x)及ψ(x)是x阶可微的,且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0),k=0,1,2,…,n一1,又x>x0时,φ(n)(x)>ψ(n)(x).试证:当x>x0时,φ(x)>ψ(x) .
admin
2018-09-25
29
问题
若函数φ(x)及ψ(x)是x阶可微的,且φ
(k)
(x
0
)=ψ
(k)
(x
0
),k=0,1,2,…,n一1,又x>x
0
时,φ
(n)
(x)>ψ
(n)
(x).试证:当x>x
0
时,φ(x)>ψ(x) .
选项
答案
令u
(n-1)
(x)=φ
(n-1)
(x)-ψ
(n-1)
(x).在[x
0
,x]上用微分中值定理得 u
(n-1)
(x)-u
(n-1)
(x
0
)=u
(n)
(ξ).(x-x
0
),x
0
<ξ<x. 又由u
(n)
(ξ)>0可知u
(n-1)
(x)-u
(n-1)
(x
0
)>0.且u
(n-1)
(x
0
)=0,所以u
(n-1)
(x)>0,即当 x>x
0
时,φ
(n-1)
(x)>ψ
(n-1)
(x). 同理u
(n-2)
(x)=φ
(n-2)
(x)-ψ
(n-2)
(x)>0. 归纳有
(n-3)
(x)>0,…,u’(x)>0,u(x)>0.于是,当x>x
0
时,φ(x)>ψ(x).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Qvg4777K
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考研数学一
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