2. 考研
  3. 若函数φ(x)及ψ(x)是x阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1，又x＞x0时，φ(n)(x)＞ψ(n)(x)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x) ．

若函数φ(x)及ψ(x)是x阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1，又x＞x0时，φ(n)(x)＞ψ(n)(x)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x) ．

admin2018-09-25  55
问题 若函数φ(x)及ψ(x)是x阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1，又x＞x0时，φ(n)(x)＞ψ(n)(x)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x) ．
选项
答案令u(n－1)(x)=φ(n－1)(x)－ψ(n－1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得 u(n－1)(x)－u(n－1)(x0)=u(n) (ξ).(x－x0)，x0＜ξ＜x． 又由u(n)(ξ)＞0可知u(n－1)(x)－u(n－1)(x0)＞0．且u(n－1)(x0)=0，所以u(n－1)(x)＞0，即当 x＞x0时，φ(n－1)(x)＞ψ(n－1)(x)． 同理u(n－2)(x)=φ(n－2)(x)－ψ(n－2)(x)＞0． 归纳有(n－3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．
解析
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考研数学一

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