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  3. 设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，且m>n，若AB=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，且m>n，若AB=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有

admin2020-12-06  1
问题 设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，且m>n，若AB=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有
选项 A、矩阵A的列向量组线性相关，矩阵B的行向量组线性相关．
B、矩阵A的列向量组线性相关，矩阵B的列向量组线性相关．
C、矩阵A的行向量组线性相关，矩阵B的行向量组线性相关．
D、矩阵A的行向量组线性相关，矩阵B的列向量组线性相关．
答案A
解析 本题考查向量组的线性相关性问题．数值型的情形一般用秩分析；抽象型的情形一般利用线性相关性的结论研究分析，但若能寻求其秩时当然用秩分析求解简便．所以对于讨论向量组的线性相关性问题，“能找秩就找秩”!
    解：显然r(AB)=n．由矩阵“越乘秩越小”性质及矩阵秩的定义可知
    n=r(AB)≤r(A)≤min{m，n}，
    n=r(AB)≤r(B)≤min{m，n}，
又m>n，故min{m，n}=n，从而可得
r(An×m)=n＜m， r(Bm×n)=n＜m，
即矩阵A的列向量组线性相关，矩阵B的行向量组线性相关．
    注：由本题条件及上述分析求解过程还可得出——矩阵A的行向量组与矩阵B的列向量组都线性无关．
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