设二维随机变量(X,Y)在区域D={(χ y)|0<χ<1,χ2<y<)上服从均匀分布,令U= (Ⅰ)写出(X,Y)的概率密度; (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由; (Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z).

admin2019-05-16  32

问题 设二维随机变量(X,Y)在区域D={(χ y)|0<χ<1,χ2<y<)上服从均匀分布,令U=
    (Ⅰ)写出(X,Y)的概率密度;
    (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由;
    (Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z).

选项

答案(Ⅰ)区域D如图(a),面积为[*],由题意,(X,Y)的概率密度为 [*] (Ⅱ)由题意, P(U≤0)=P(U=0)=P(X>Y) [*] D1见图(b),G见图(c),G1见图(d). 可见[*], 故U与X不独立. (Ⅲ)F(z)=P(Z≤z)=P(U+X≤z)=P(U+X≤z,U=0)+P(U+X≤z,U=1)=P(X≤z,X>Y)+P(X≤z-1,X≤Y) 可见,z<0时,F(z)=0; z≥2时,P(X≤z,X>Y)=P(X>Y),P(X≤z-1,X≤Y)=P(X≤Y) 所以F(z)=P(X>Y)+P(X≤Y)=1; 0≤z<1时,由-1≤z-1<0,知P(X≤z-1,X≤Y)=0, 而P(X≤z,X>Y)=[*], G2见图(e). 故F(z)=[*]3z2-z3; 1≤z<2时,P(X≤2,X>Y)=P(X>Y)=[*], 这时0≤z-1<1,有 P(X≤z-1,X≤Y)=[*], G3见图(f). 所以F(z)=[*] [*]

解析
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