2. 考研
  3. 设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜)上服从均匀分布，令U＝ (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由； (Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．

设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜)上服从均匀分布，令U＝ (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由； (Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．

admin2019-05-16  30
问题 设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜)上服从均匀分布，令U＝
    (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度；
    (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由；
    (Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．
选项
答案(Ⅰ)区域D如图(a)，面积为[*]，由题意，(X，Y)的概率密度为 [*] (Ⅱ)由题意， P(U≤0)＝P(U＝0)＝P(X＞Y) [*] D1见图(b)，G见图(c)，G1见图(d)． 可见[*]， 故U与X不独立． (Ⅲ)F(z)＝P(Z≤z)＝P(U＋X≤z)＝P(U＋X≤z，U＝0)＋P(U＋X≤z，U＝1)＝P(X≤z，X＞Y)＋P(X≤z－1，X≤Y) 可见，z＜0时，F(z)＝0； z≥2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)，P(X≤z－1，X≤Y)＝P(X≤Y) 所以F(z)＝P(X＞Y)＋P(X≤Y)＝1； 0≤z＜1时，由－1≤z－1＜0，知P(X≤z－1，X≤Y)＝0， 而P(X≤z，X＞Y)＝[*]， G2见图(e)． 故F(z)＝[*]3z2－z3； 1≤z＜2时，P(X≤2，X＞Y)＝P(X＞Y)＝[*]， 这时0≤z－1＜1，有 P(X≤z－1，X≤Y)＝[*]， G3见图(f)． 所以F(z)＝[*] [*]
解析
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考研数学一

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