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(I)设A是n阶方阵,满足A2=A,证明A相似于对角矩阵; (Ⅱ)设A=,求可逆矩阵P使得P-1 AP=A,其中A是对角矩阵.
(I)设A是n阶方阵,满足A2=A,证明A相似于对角矩阵; (Ⅱ)设A=,求可逆矩阵P使得P-1 AP=A,其中A是对角矩阵.
admin
2018-12-21
59
问题
(I)设A是n阶方阵,满足A
2
=A,证明A相似于对角矩阵;
(Ⅱ)设A=
,求可逆矩阵P使得P
-1
AP=A,其中A是对角矩阵.
选项
答案
(I)由题设A
2
=A,故A
2
-A=A(A-E)=(A-E)A=O,故 故 r(A)﹢r(A-E)≤n. 又 r(A)﹢r(A-E)=r(A)﹢r(E-A)≥r(A﹢E-A)=r(E)=n, 故 r(A)﹢r(A-E)=n. 设 r(A)=r,r(A-E)=n-r. 因(A-E)A=O,r(A)=r,A中r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ=1的特征向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
. 又A(A-E)=O,r(A-E)=n-r,A-E中,n-r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ=0的特征向量,记为η
1
,η
2
,…,η
n-r
,不同特征值对应的特征向量线性无关. 故取P=(ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,η
1
,η
2
,…,η
n-r
),P可逆,且p
-1
AP=[*]. (Ⅱ)[*] 因A
2
=(αβ
T
)(αβ
T
)=[*]=αβ
T
=A. 满足(I)的条件,由(I)知,r(A)=1,A的线性无关列向量ξ
1
=[*]是A的对应于特征值λ=1的特征向量. r(A-E)=2,A-E=[*]的线性无关列向量[*]是A的对应于特征值λ=0的特征向量. 取[*]
解析
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考研数学二
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