2. 考研
  3. (I)设A是n阶方阵，满足A2＝A，证明A相似于对角矩阵； (Ⅱ)设A＝，求可逆矩阵P使得P－1 AP＝A，其中A是对角矩阵．

(I)设A是n阶方阵，满足A2＝A，证明A相似于对角矩阵； (Ⅱ)设A＝，求可逆矩阵P使得P－1 AP＝A，其中A是对角矩阵．

admin2018-12-21  92
问题 (I)设A是n阶方阵，满足A2＝A，证明A相似于对角矩阵；
(Ⅱ)设A＝，求可逆矩阵P使得P－1 AP＝A，其中A是对角矩阵．
选项
答案(I)由题设A2＝A，故A2－A＝A(A－E)＝(A－E)A＝O，故 故 r(A)﹢r(A－E)≤n． 又 r(A)﹢r(A－E)＝r(A)﹢r(E－A)≥r(A﹢E－A)＝r(E)＝n， 故 r(A)﹢r(A－E)＝n． 设 r(A)＝r，r(A－E)＝n－r． 因(A－E)A＝O，r(A)＝r，A中r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ＝1的特征向量，设为ξ1，ξ2，…，ξr． 又A(A－E)＝O，r(A－E)＝n－r，A－E中，n－r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ＝0的特征向量，记为η1，η2，…，ηn－r，不同特征值对应的特征向量线性无关． 故取P＝(ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηn－r)，P可逆，且p－1AP＝[*]． (Ⅱ)[*] 因A2＝(αβT)(αβT)＝[*]＝αβT＝A． 满足(I)的条件，由(I)知，r(A)＝1，A的线性无关列向量ξ1＝[*]是A的对应于特征值λ＝1的特征向量． r(A－E)＝2，A－E＝[*]的线性无关列向量[*]是A的对应于特征值λ＝0的特征向量． 取[*]
解析
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考研数学二

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