2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上可导，f(0)＝0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)＝0，x∈[0，1]．

设f(x)在[0，1]上可导，f(0)＝0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)＝0，x∈[0，1]．

admin2019-11-25  76
问题 设f(x)在[0，1]上可导，f(0)＝0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)＝0，x∈[0，1]．
选项
答案因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而｜f(x)｜在[0，1]上 连续，故｜f(x)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得｜f(x)0｜＝M． 当x0＝0时，则M＝0，所以f(x)[*]0，x∈[0，1]； 当x0≠0时，M＝｜f(x0)｜＝｜f(x0)－f(0)｜＝｜f’(ξ)｜x0≤｜f’(ξ)｜≤[*]｜f(ξ)｜≤[*]，其中ξ∈(0，x0)，故M＝0，于是f(x)[*]0，x∈[0，1]．
解析
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考研数学三

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