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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
admin
2021-01-15
10
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
；
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
。
选项
答案
(Ⅰ) f=(2a
1
2
+b
1
2
)x
1
2
+(2a
2
2
+b
2
2
)x
2
2
+(2a
3
2
+b
3
2
)x
3
2
+(4a
1
a
2
+2b
1
b
2
)x
1
x
2
+(4a
1
a
3
+b
1
b
3
)x
1
x
3
+(4a
1
a
3
+2b
2
b
3
)x
1
x
3
， 则f对应的矩阵为 [*] =2αα
T
+ββ
T
。 (Ⅱ)设A=2αα
T
+ββ
T
，由于α，β正交，所以α
T
β=βα
T
=0，则 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α｜α｜
2
+ββ
T
α=2α，所以α为矩阵对应特征值λ
1
=2的特征向量； Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2αα
T
β+β｜β｜
2
=β，所以β为矩阵对应特征值λ
2
=1的特征向量。 而矩阵A的秩 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=2，所以λ
3
=0也是矩阵的一个特征值。 故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/RBq4777K
0
考研数学一
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