2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f′(a)=f′(b)=0.证明：存在ξE(a，b)，使得 |f″(ξ)|≥4/(b-a)2|f(b)-f(a)|.

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f′(a)=f′(b)=0.证明：存在ξE(a，b)，使得 |f″(ξ)|≥4/(b-a)2|f(b)-f(a)|.

admin2022-08-19  71
问题 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f′(a)=f′(b)=0.证明：存在ξE(a，b)，使得
|f″(ξ)|≥4/(b-a)2|f(b)-f(a)|.
选项
答案由泰勒公式得 f[(a+b)/2]=f(a)+f′(a)[(a+b)/2-a]+[f″(ξ1)/2!][(a+b)/2-a]2，ξ1∈[a，(a+b)/2]， f[(a+b)/2]=f(b)+f′(b)[(a+b)/2-b]+[f″(ξ2)/2!][(a+b)/2-b]2，ξ2∈[(a+b)/2，b]， 即f[(a+b)/2]=f(a)+[(b-a)2/8]f″(ξ1)，f[(a+b)/2]=f(b)+[(b-a)2/8]f″(ξ2)， 两式相减得f(b)-f(a)=[(b-a)2/8][f″(ξ1)-f″(ξ2)]， 取绝对值得|f(b)-f(a)|≤[(b-a)2/8][|f″(ξ1)|+|f″(ξ2)|]. (1)当|f″(ξ1)|≥|f″(ξ2)|时，取ξ=ξ1，则有|f″(ξ)|≥[4/(b-a)2]|f(b)-f(a)|； (2)当|f″(ξ1)|＜|f″(ξ2)|时，取ξ=ξ2，则有|f″(ξ)|≥[4/(b-a)2]|f(b)-f(a)|.
解析
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考研数学三

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