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设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f′(a)=f′(b)=0.证明:存在ξE(a,b),使得 |f″(ξ)|≥4/(b-a)2|f(b)-f(a)|.
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f′(a)=f′(b)=0.证明:存在ξE(a,b),使得 |f″(ξ)|≥4/(b-a)2|f(b)-f(a)|.
admin
2022-08-19
78
问题
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f′(a)=f′(b)=0.证明:存在ξE(a,b),使得
|f″(ξ)|≥4/(b-a)
2
|f(b)-f(a)|.
选项
答案
由泰勒公式得 f[(a+b)/2]=f(a)+f′(a)[(a+b)/2-a]+[f″(ξ
1
)/2!][(a+b)/2-a]
2
,ξ
1
∈[a,(a+b)/2], f[(a+b)/2]=f(b)+f′(b)[(a+b)/2-b]+[f″(ξ
2
)/2!][(a+b)/2-b]
2
,ξ
2
∈[(a+b)/2,b], 即f[(a+b)/2]=f(a)+[(b-a)
2
/8]f″(ξ
1
),f[(a+b)/2]=f(b)+[(b-a)
2
/8]f″(ξ
2
), 两式相减得f(b)-f(a)=[(b-a)
2
/8][f″(ξ
1
)-f″(ξ
2
)], 取绝对值得|f(b)-f(a)|≤[(b-a)
2
/8][|f″(ξ
1
)|+|f″(ξ
2
)|]. (1)当|f″(ξ
1
)|≥|f″(ξ
2
)|时,取ξ=ξ
1
,则有|f″(ξ)|≥[4/(b-a)
2
]|f(b)-f(a)|; (2)当|f″(ξ
1
)|<|f″(ξ
2
)|时,取ξ=ξ
2
,则有|f″(ξ)|≥[4/(b-a)
2
]|f(b)-f(a)|.
解析
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考研数学三
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