设D={(x，y)｜(x-1)2+(y-1)2≤1}，Ik=(x+y)kdxdy，k=1．2，3．则正确的是( )

admin2022-04-27 24

问题设D={(x，y)｜(x-1)²+(y-1)²≤1}，I_k=

(x+y)^kdxdy，k=1．2，3．则正确的是( )

选项 A、I₁＜I₂＜I₃．
B、I₃＜I₂＜I₁．
C、I₁＜I₃＜I₂．
D、I₂＜I₃＜I₁．

答案A

解析令u=x-1，v=y-1，则积分区域化为D₁：u²+v²≤1．
I₁=

(x+y)dxdy=

(u+v+2)dudv,
D₁关于u轴、v轴对称，u，v是奇函数，故
I₁=

(u+v)dudv+2

dudv=0+2×π×1²=2π，
I₂=

(x+y)²dxdy=

(u+v+2)²dudv
=

(u+v)²dudv+4

dudv
=

(u+v)²dudv+4π，
I₃=

(x+y)³dxdy=

(u+v+2)³dudv
=6

(u+v)²dudv+8π，
在D₁上，(u+v)²≥0，故

(u+v)²dudv＞0，故I₁＜I₂＜I₃．

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