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  3. 设D={(x，y)｜(x-1)2+(y-1)2≤1}，Ik=(x+y)kdxdy，k=1．2，3．则正确的是( )

设D={(x，y)｜(x-1)2+(y-1)2≤1}，Ik=(x+y)kdxdy，k=1．2，3．则正确的是( )

admin2022-04-27  29
问题 设D={(x，y)｜(x-1)2+(y-1)2≤1}，Ik=(x+y)kdxdy，k=1．2，3．则正确的是(          )
选项 A、I1＜I2＜I3．
B、I3＜I2＜I1．
C、I1＜I3＜I2．
D、I2＜I3＜I1．
答案A
解析 令u=x-1，v=y-1，则积分区域化为D1：u2+v2≤1．
I1=(x+y)dxdy=(u+v+2)dudv,
D1关于u轴、v轴对称，u，v是奇函数，故
I1=(u+v)dudv+2dudv=0+2×π×12=2π，
I2=(x+y)2dxdy=(u+v+2)2dudv
=(u+v)2dudv+4dudv
=(u+v)2dudv+4π，
I3=(x+y)3dxdy=(u+v+2)3dudv
=6(u+v)2dudv+8π，
在D1上，(u+v)2≥0，故(u+v)2dudv＞0，故I1＜I2＜I3．
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考研数学三

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