2. 考研
  3. 设齐次线性方程组有非零解，且A＝为正定矩阵，求a，并求当｜｜X｜｜＝时XTAX的最大值．

设齐次线性方程组有非零解，且A＝为正定矩阵，求a，并求当｜｜X｜｜＝时XTAX的最大值．

admin2019-11-25  59
问题 设齐次线性方程组有非零解，且A＝为正定矩阵，求a，并求当｜｜X｜｜＝时XTAX的最大值．
选项
答案因为方程组有非零解，所以[*]＝a(a＋1)(a－3)＝0，即a＝－1或 a＝0或a＝3．因为A是正定矩阵，所以aii＞0(i＝1，2，3)，所以a＝3．当a＝3时，由 ｜λE－A｜＝[*]＝(λ－1)(λ－4)(λ－10)＝0， 得A的特征值为1，4，10．因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得f＝XTAX[*]y21＋4y22＋10y23≤10(y21＋y22＋y23)，而当｜｜X｜＝[*]时， y21＋y22＋y23＝YTY＝YTqTQY＝(QY)T(QY)＝XTX＝｜｜X ｜｜2＝2， 所以当｜｜X｜｜＝[*]时，XTAX的最大值为20(最大值20可以取到，如y1＝y2＝0，y3＝[*])．
解析
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考研数学三

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