设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，∫01f(x)dx=0。证明：存在一点ξ∈(0，1)，使得 ∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)。

admin2018-05-25 57

问题设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，∫₀¹f(x)dx=0。证明：存在一点ξ∈(0，1)，使得
∫₀^ξf(x)dx=ξf(ξ)。

选项

答案令 [*] 由于[*]=F(0)=0，因此F(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导。又已知f(x)=0，F(1)=∫₀¹f(t)dt=0，所以F(0)=F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理条件，故必存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即 [*] 从而有 ∫₀^ξf(x)dx一ξf(ξ)=0。

解析

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