设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=0,∫01f(x)dx=0。证明:存在一点ξ∈(0,1),使得 ∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)。

admin2018-05-25  27

问题 设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=0,∫01f(x)dx=0。证明:存在一点ξ∈(0,1),使得
    ∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)。

选项

答案令 [*] 由于[*]=F(0)=0,因此F(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导。 又已知f(x)=0,F(1)=∫01f(t)dt=0,所以F(0)=F(1)=0,则F(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件,故必存在一点ξ∈(0,1),使得F’(ξ)=0,即 [*] 从而有 ∫0ξf(x)dx一ξf(ξ)=0。

解析
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